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Un simple jeu de cartes et autres nombres inconcevables

Tim Urban a posté récemment ce tweet fantastique:

Il faut un googol d’années pour qu’un trou noir supermassif se décompose. Si vous avez un sablier qui contient un grain de sable pour chaque particule de l’univers, et qu’un grain tombe chaque milliard d’années, il sera écoulé après moins de 1% de la vie du trou noir.>

Arrêtez vous quelques instants pour prendre la mesure de ce que vous venez de lire.

La question de la (non)compréhension des très grands nombres −et par extension de tout ce qui peut ressembler à l’infini− est fascinante. Cela m’a rappelé un chouette article, « Un simple jeu de cartes » dont la seconde partie est une traduction libre.

Dans cette thématique, si vous avez une soirée à tuer je vous conseille également:

Un simple jeu de cartes

Les 52 cartes d’un jeu de carte ont l’air peu dangereuses, avec leurs design colorés des deux cotés. C’est pourtant une belle illustration que la complexité commence à partir des choses les plus simples, car le nombre de variations que ces 52 cartes peuvent produire est virtuellement infinie.

Le nombre de permutations de 52 cartes est 52!, que l’on prononce “52 factorielle”, et qui vaut 525150321. C’est le nombre de manières possibles d’arranger les 52 cartes d’un paquet. Il vaut 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

Ce chiffre est plus qu’astronomiquement grand, car la plupart des nombres utilisés en astronomie sont une fraction infinitésimale de ce nombre. Mais c’est grand comment, exactement ? Essayons de nous en construire une représentation à travers un amusant exercice de pensée.

Démarrez un chonomètre, qui va compter à rebours de 52! secondes jusqu’à 0. On va voir que ça nous laisse pas mal de temps pour nous amuser.

Prenez maintenant votre point favori sur l’équateur. Vous allez faire le tour du monde le long de l’équateur, mais à la cadence très calme d’un pas tous les milliards d’années. La circonférence de la terre est de 40 075 017m, donc pensez à prendre quelques bouquins pour passer le temps.

Une fois que vous avez fini votre tour du monde, enlevez une goutte d’eau de l’ocean Pacifique.

Maintenant, recommencez: faites à nouveau le tour de la terre à raison d’un pas tous les milliards d’années, puis enlevez une goutte de l’océan Pacifique chaque fois que vous faites un tour. Continuez jusqu’à ce que l’océan soit vide (on parle de 707.6 millions de km^3 d’eau).

Quand c’est fait, posez une feuille de papier sur le sol.

Maintenant, remplissez à nouveau l’océan pacifique d’eau, et recommencez le processus en entier, en faisant le tour de l’équateur et en ajoutant une feuille de plus à chaque fois que l’océan pacifique est vide. Faites ça jusqu’à ce que la pile de feuille fasse la taille de la distance Terre-Soleil.

Jetez un oeil au timer: vous verrez que les 3 chiffres les plus à gauche n’ont même pas changé. Toujours 8.063*10^67 secondes restantes.

Débarrassez-vous donc la pile de papier, et recommencez à nouveau. Mille fois de plus. Malheureusement, ça ne suffira pas: toujours 5.385*10^67 secondes restantes. Vous avez seulement fait le tiers du travail.

Essayons autre chose

Pour passer le temps qui reste, mélangez le jeu de cartes. Tous les milliards d’années, distribuez une main de poker, c’est à dire 5 cartes. À chaque fois que vous obtenez un royal flush, achetez-vous un ticket de loterie. Si ce ticket vous fait gagner le jackpot, jetez un grain de sable dans le grand Canyon. Continuez ainsi jusqu’à l’avoir rempli de sable. Une fois que c’est fait, enlevez une once de roche de l’everest. Maintenant, videz le grand Canyon et recommencez.

Quand vous aurez réduit à néant l’Everest, regardez le timer. Encore 5.364 * 10^67 secondes! Vous avez à peine fait un accroc. Si vous recommencez 255fois, il restera 3.024 * 10^64 secondes: le timer passera à 0 lors de votre 256ème tentative.

Tout ça n’a pas d’importance

En fait, tout ce travail n’a pas de sens, car rien de tout ceci ne pourrait arriver. L’océan Pacifique va bouillir lorsque notre Soleil deviendra une géante rouge alors même que vous en serez à votre cinquième pas de votre premier trek autour du monde.

Un obstacle plus important, c’est le fait que les étoiles de l’univers vont finalement s’éteindre, laissant l’univers vide et sombre, perpétuellement en expansion, habité seulement par quelques particules éparses, à quelques degré seulement au dessus du zéro absolu.

Les détails sont encore un peu flou, mais cela devrait arriver avant que vous ayez vidé le Pacifique de plus de quelques piscines.

Que retenir de cette histoire?

Alors, déjà, une meilleure compréhension de l’histoire à long terme de l’univers, et peut-être un début d’intuition sur les très grands nombres, d’où découle notre incapacité à appréhender de manière cohérente l’infini (c’est vraiment bien plus grand que tout ce dont on vient de parler) :)

Et puis aussi l’idée que, peu importe ce que l’on sait, il y a toujours des ordres de magnitude de connaissance dont on ignore jusque l’existence et qu’il reste à explorer, d’où la nécessité d’être humble vis à vis de ce qu’on croit savoir.

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